n顶点随机图G中，顶点子集全连边的概率求解（含5顶点实例）

嘿，你的初步思路完全正确！咱们来把这个规律提炼成通用表达式：

首先，先明确几个核心关键点：

• 对于一个大小为m的顶点子集（m可以是0、1、2…n），子集内可能存在的边总数是组合数C(m, 2)——也就是从m个顶点中选2个构成边的数量，计算公式是：

  C(m, 2) = m*(m-1)/2
  

• 因为每条边独立存在的概率是k，而我们要求所有边都存在，根据独立事件的概率乘法规则，总概率就是k的边数次方。

对应你给出的例子验证：

• 空子集（m=0）：C(0,2)=0，概率k^0=1
• 单元素子集（m=1）：C(1,2)=0，概率k^0=1
• 双元素子集（m=2）：C(2,2)=1，概率k^1=k
• 三元素子集（m=3）：C(3,2)=3，概率k^3
• 四元素子集（m=4）：C(4,2)=6，概率k^6
• 五元素子集（m=5）：C(5,2)=10，概率k^10

完全和你的结论匹配！

所以最终的通用表达式可以总结为：

若指定顶点子集的大小为m，则该子集内所有边均存在于随机图G中的概率为：

p = k^(m*(m-1)/2)

这个公式覆盖了所有可能的子集情况，从空集到包含全部n个顶点的全集都适用~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Luciano R.