咨询《Gödel's Proof》中Gödel numbering对0、s0等实际数字的表示及primitive recursive真命题的编码方法

嘿，我刚解决了自己之前的一个困惑，正好能帮你理清楚这个问题！

首先先说说你提到的数字表示的核心点——我之前也犯了同样的错：没认真看Nagel和Newman书里第70页的符号编码表！现在搞清楚了：

• 后继符号s的哥德尔数是7
• 常数0的哥德尔数是6

那像ss0这类数字项的编码就很清晰了：哥德尔编号是把符号序列转换成素数幂的乘积，每个符号对应一个素数的指数（第1个符号用第1个素数2，第2个用3，第3个用5，以此类推）。所以：

• 数字0的哥德尔数就是6（单个符号的情况，直接用它的编码就行，也可以看成2^6，本质逻辑一致）
• 数字s0（对应自然数1）是符号序列s + 0，编码就是 2^7 × 3^6
• 数字ss0（对应自然数2）是符号序列s + s + 0，编码就是 2^7 × 3^7 × 5^6
• 以此类推，k个s加0的数字项，编码就是前k+1个素数的幂乘积：前k个素数的指数都是7（对应s），最后一个素数的指数是6（对应0）

接下来聊聊primitive recursive真命题的编码：
Primitive recursive命题是基于基础递归函数（后继、零函数、投影函数）通过复合和递归定义的真命题，它们的编码逻辑和数字项类似，就是先把整个命题拆解成系统里的基础符号，然后给每个符号匹配对应的哥德尔数，再用素数幂乘积的方式生成唯一的哥德尔数。

举个简单的真命题例子：0 = 0，假设等号=的哥德尔数是5（书里的表格里有明确的基础符号编码），那这个命题的符号序列是0、=、0，对应的哥德尔数就是 2^6 × 3^5 × 5^6。再比如命题s0 = s0，编码就是 2^7 × 3^6 × 5^5 × 7^7 × 11^6——必须用连续的素数，不能跳，这样才能保证每个符号序列对应唯一的哥德尔数，反过来也能唯一解码。

其实核心逻辑就是：把系统里的每一个符号、符号序列（不管是数字项还是完整命题）都映射成一个唯一的自然数，用素数分解的唯一性来保证编码和解码的一一对应，这也是哥德尔编号能把形式系统里的命题转换成自然数的关键所在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Devery Sheridan