良序空间中完备性推紧性的证明疑问

设$T=(S, \leq, \tau)$是配备序拓扑的良序集（序拓扑采用标准定义）。

定义1：$T$被称为完备的，当且仅当$T$的每个非空子集都有最大下界（下确界）和最小上界（上确界）。

定理1：$T$是紧空间当且仅当$T$是完备的。

我最近在啃定理1里“完备性蕴含紧性”这个方向的证明时，遇到了不少困惑。我已经看过一份完整的证明版本，也在相关数学讨论里留意过类似的疑问，但还是卡在了几个关键节点上——比如怎么用$T$的完备性来处理开覆盖的选取，还有如何结合良序的特性构造出有限子覆盖，这些步骤的逻辑链条我总是摸不透。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Badu