可由内点角度唯一参数化的若尔当曲线情形下托普利茨猜想的已证情况问询

我最近偶然了解到托普利茨猜想，先给大家回顾一下这个猜想的内容：

猜想：是否每条若尔当曲线都包含一个正方形的四个顶点？

在维基百科的相关页面中，已经有不少特殊情形被证明了。我现在想请教的是下面这个特定的情形：

如果若尔当曲线内部存在一个点$x_0$，使得曲线上的每一个点都能由$x$轴与连接$x_0$和该点的向量之间的角度唯一确定，那这种情况下托普利茨猜想已经被证明了吗？

我用两种具体情况来解释这个特殊情形：

符合该特殊情形的例子 #

这是一条满足条件的若尔当曲线——从内部点$x_0$出发，任意一个角度都只会对应曲线上唯一的一个点，不会出现同一个角度指向曲线上两个不同点的情况。

不符合该性质的例子 #

这条若尔当曲线则不满足上述性质：存在某个角度，从$x_0$出发沿着这个角度的射线会与曲线交于两个不同的点，无法用角度唯一确定曲线上的点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NancyBoy