函数$f(x,y)=e^{x^2}\log(1+x+y)$在$(0,0)$处的三阶泰勒近似求解与系数验证

问题 #

给定函数 $ f(x, y) = e^{x2} \log(1 + x + y) $，在点 $ (0, 0) $ 附近，利用已知级数求出该函数在 $ (0, 0) $ 处的三阶泰勒近似，并通过求导验证系数是否正确。

我的求解尝试 #

我已经熟悉$e^{x2}$的泰勒级数展开式：
$$ e^{x2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k!}. $$
因为我们要的是三阶泰勒近似，只需要保留次数不超过3的项就够了，所以取前两项就足够：
$$ e^{x2} = 1 + x^2 + \mathcal{O}(x^4) $$

接下来处理$\log(1+x+y)$，我通过求导得到了它的三阶泰勒多项式：
$$ \log(1+x+y) \approx (x+y) - \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x+y)^3}{3} + \mathcal{O}((x+y)^4) $$

目前我打算把这两个展开式相乘，只保留所有次数≤3的项，之后再通过直接求原函数的各阶偏导数，来验证这些项的系数是否正确。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者j.primus