关于O(n)+O(1)=O(n)证明逻辑正确性的技术问询

嘿，你的思路方向是对的，但细节上可以更严谨一些——毕竟大O符号的证明得严格贴合它的数学定义才行。咱们一步步来拆解：

首先，先明确大O符号的核心定义：

若函数 $g(n) \in O(h(n))$，则存在常数 $C>0$ 和 $n_0 \geq 0$，使得当 $n \geq n_0$ 时，$|g(n)| \leq C|h(n)|$。

正确的证明步骤 #

我们要证的是：对于任意 $f(n) \in O(n)$，$g(n) \in O(1)$，都有 $f(n)+g(n) \in O(n)$：

• 由 $f(n) \in O(n)$，根据定义，存在常数 $C_1>0$ 和 $n_1 \geq 0$，当 $n \geq n_1$ 时，$|f(n)| \leq C_1 n$。
• 由 $g(n) \in O(1)$，同理存在常数 $C_2>0$ 和 $n_2 \geq 0$，当 $n \geq n_2$ 时，$|g(n)| \leq C_2$。
• 取 $n_0 = \max(n_1, n_2)$，当 $n \geq n_0$ 时，利用三角不等式：
  $$|f(n)+g(n)| \leq |f(n)| + |g(n)| \leq C_1 n + C_2$$
• 现在我们需要把 $C_1 n + C_2$ 转化为某个常数乘以 $n$。当 $n \geq 1$ 时，$C_2 \leq C_2 n$，所以：
  $$C_1 n + C_2 \leq C_1 n + C_2 n = (C_1 + C_2)n$$
• 令 $C = C_1 + C_2$（显然 $C>0$），取 $n_0' = \max(n_0, 1)$，则当 $n \geq n_0'$ 时，$|f(n)+g(n)| \leq C n$。这就满足了 $f(n)+g(n) \in O(n)$ 的定义。
• 反过来，$O(n)$ 中的任意函数都可以写成自身加0（而 $0 \in O(1)$），所以 $O(n) \subseteq O(n)+O(1)$。结合上面的结论，就有 $O(n)+O(1)=O(n)$。

对你的推理的分析 #

你的核心想法（把常数项和n项合并，再利用系数规则）是没问题的，但有两个小瑕疵：

• 你直接写 $f(n) < f(n)+1 < 2f(n)$，这里的问题是：$O(1)$ 代表的是任意有常数上界的函数，不一定是1；而且 $f(n) \in O(n)$ 并不意味着 $f(n)+1 < 2f(n)$ 对所有n成立（比如当 $f(n)=n/2$ 时，只有 $n>2$ 时这个不等式才成立）。
• 说 $O(n)+O(1)=2O(n)$ 其实不太规范，因为大O符号是函数集合，不是代数意义上的数。正确的逻辑是把常数项转化为和n成正比的项，再合并系数，而不是直接对集合做“乘法”。

总的来说，你的思路是正确的，只要把步骤用大O的严格定义补全，就完全没问题啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gabriel