含余弦平方与正弦分母的定积分求解及Cin函数转化问题

我最近在求解这个定积分，卡了好一阵：
$$\int_{0}^{{\pi}{\frac{\cos}2{\left(\frac{\pi}{2}\cdot\cos(x)\right)}}{\sin(x)};\mathrm{d}x}$$
我隐约知道它肯定和Cin函数有关——就是这个定义的函数：
$$\mathrm{Cin}(x)=\int_{0}^{x}{\frac{1-\cos(t)}{t};\mathrm{d}t}$$
但不管怎么凑，就是没法把积分转化成Cin函数的形式，实在头疼。

完整求解过程（特别感谢@stoic-santiago的帮忙） #

咱们先把这个积分记作$\Gamma$，第一步先给它做个变形，把分母的$\sin\vartheta$转化成能和分子配合的形式：
$$\begin{align}\Gamma&=\int_{0}^{{\pi}{\frac{\cos}2{\left(\frac{\pi}{2}\cdot\cos(\vartheta)\right)}}{\sin(\vartheta)};\mathrm{d}\vartheta}\
&=\int_{0}^{{\pi}{\sin(\vartheta)\cdot\frac{\cos}2{\left(\frac{\pi}{2}\cdot\cos(\vartheta)\right)}}{1-\cos^2(\vartheta)};\mathrm{d}\vartheta}
\end{align}$$
接下来做变量替换就顺理成章了：令$u=\cos(\vartheta)$，那么$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\vartheta}=-\sin(\vartheta)$，也就是$\mathrm{d}\vartheta=-\frac{\mathrm{d}u}{\sin(\vartheta)}$。代入后积分上下限会翻转：当$\vartheta=0$时$u=1$，$\vartheta=\pi$时$u=-1$，所以：
$$\Gamma=-\int_{1}^{{-1}{\frac{\cos}2{\left(\frac{\pi}{2}\cdot u\right)}}{1-u^2};\mathrm{d}u}$$
这里注意两个点：一是交换积分上下限会抵消掉负号，二是被积函数是偶函数（分子分母都是关于$u$的偶函数），所以可以简化成从0到1的积分再乘2：
$$\Gamma=2\int_{0}^{{1}{\frac{\cos}2{\left(\frac{\pi}{2}\cdot u\right)}}{1-u^2};\mathrm{d}u}$$
接下来用三角恒等式$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$把分子展开，这样就能拆分积分项了：
$$\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\cdot u\right)}=\frac{1+\cos(\pi u)}{2}$$
代入后积分就变成：
$$\Gamma=2\int_{0}^{1}{\frac{1+\cos(\pi u)}{2(1-u^{2)};\mathrm{d}u}=\int_{0}}{1}{\frac{1+\cos(\pi u)}{1-u^2};\mathrm{d}u}$$
然后把分式$\frac{1}{1-u^2}$拆成部分分式：$\frac{1}{(1-u)(1+u)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)$，代入后积分拆成两个部分：
$$\Gamma=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1+\cos(\pi u)}{1-u};\mathrm{d}u}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1+\cos(\pi u)}{1+u};\mathrm{d}u}$$
现在分别处理这两个积分：

• 第一个积分做变量替换：令$t=1-u$，则$u=1-t$，$\mathrm{d}u=-\mathrm{d}t$，上下限从$u=0\to t=1$，$u=1\to t=0$，代入后利用$\cos(\pi(1-t))=\cos(\pi-\pi t)=-\cos(\pi t)$，得到：
  $$\frac{1}{2}\int_{1}^{{0}{\frac{1+\cos(\pi(1-t))}{t}\cdot(-\mathrm{d}t)}=\frac{1}{2}\int_{0}}{1}{\frac{1-\cos(\pi t)}{t};\mathrm{d}t}$$
• 第二个积分做变量替换：令$s=1+u$，则$u=s-1$，$\mathrm{d}u=\mathrm{d}s$，上下限从$u=0\to s=1$，$u=1\to s=2$，代入后利用$\cos(\pi(s-1))=\cos(\pi s-\pi)=-\cos(\pi s)$，得到：
  $$\frac{1}{2}\int_{1}^{{2}{\frac{1+\cos(\pi(s-1))}{s};\mathrm{d}s}=\frac{1}{2}\int_{1}}{2}{\frac{1-\cos(\pi s)}{s};\mathrm{d}s}$$
  把这两个结果合并起来，刚好可以拼成从0到2的积分：
  $$\Gamma=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{1}{\frac{1-\cos(\pi t)}{t};\mathrm{d}t}+\int_{1}^{2}{\frac{1-\cos(\pi s)}{s};\mathrm{d}s}\right]=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}{\frac{1-\cos(\pi t)}{t};\mathrm{d}t}$$
  最后一步做变量替换$z=\pi t$，则$t=\frac{z}{\pi}$，$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}z}{\pi}$，代入后就完美匹配Cin函数的定义了：
  $$\Gamma=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}{\frac{1-\cos z}{\frac{z}{\pi}}\cdot\frac{\mathrm{d}z}{\pi}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}{\frac{1-\cos z}{z};\mathrm{d}z}=\frac{1}{2}\mathrm{Cin}(2\pi)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FixFox