用拉格朗日法求解一阶偏微分方程（PDE）及零除问题咨询
我现在需要解决下面这个偏微分方程问题：
$$
\begin{cases}
y u_x - x u_y = 0 \
u(x, 0) = x^2 & ,x \in \mathbb{R} \
\end{cases}
$$
我的尝试
我一开始用了拉格朗日方法，先回忆下这个方法的标准形式：
$$A(x,y,u)u_x + B(x,y,u)u_y = C(x,y,u)$$
对应的特征方程是：
$$\frac{dx}{A(x,y,u)} = \frac{dy}{B(x,y,u)} = \frac{du}{C(x,y,u)}$$
对应到我的问题里，$A=y$，$B=-x$，$C=0$，所以特征方程就是：
$$\frac{dx}{y} = \frac{dy}{-x}$$
为了消去分母，我两边同时乘以了$-xy$，不过这里我有点纠结，当$x=0$或者$y=0$的时候会不会出现零除的问题？先继续往下算：
$$-x dx = y dy$$
两边积分后得到：
$$-\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C$$
整理一下就能得到首次积分：
$$x^2 + y^2 = C_1$$
因为这里$C(x,y,u)=0$，说明$u$在特征线上是常数，所以我推测解$u$可以表示成$x^2 + y^2$的函数，也就是$u = f(x^2 + y^2)$，其中$f$是任意可微函数。
接下来代入初始条件$u(x,0)=x2$，当$y=0$时，$u(x,0)=f(x2)=x2$，令$t=x2$的话，就能得到$f(t)=t$，所以看起来解应该是$u(x,y)=x^2 + y^2$？不过我不确定这个解是不是完全正确，尤其是之前处理特征方程时乘以$-xy$带来的零除问题，会不会导致解在某些点不成立？比如$x=0$且$y=0$的点，或者初始条件里$y=0$的情况，有没有需要额外考虑的地方？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者knight5478
