关于平衡正规范畴是否为正合范畴的技术问询
先从基础定义梳理清楚，方便咱们讨论：
- 正规范畴：满足有限完备，kernel pair的余等化子存在，且正则满态射在拉回下稳定的范畴。
- 正合范畴：属于正则范畴，同时要求每个内部等价关系都是有效的（也就是某个态射的kernel pair）。
- 平衡正规范畴：正则范畴里满足「既是单态又是满态的态射必为同构」，这个性质等价于范畴里的每个满态射都是正则满态射。
接下来是核心问题：是不是所有平衡正规范畴都自动是正合范畴？如果不是的话，额外加上有限余完备（或者至少对所有内部等价关系都有余等化子）这个条件后，它会变成正合范畴吗？
咱们先看有限余完备的情况：
假设范畴里有任意内部等价关系 $E \rightrightarrows X$，因为范畴是有限余完备的，所以这个等价关系的余等化子（也就是常说的“商对象”）$X \twoheadrightarrow X/E$ 一定存在。接下来我们取这个余等化子的kernel pair，得到另一个内部等价关系 $E' \rightrightarrows X$。这里有个很自然的单态射 $E \rightarrow E'$——原因很简单，$E$ 是 $X$ 上的等价关系，它规定的元素对都会在商对象 $X/E$ 里被等同，而 $E'$ 正是商态射的kernel pair（也就是所有被商态射等同的元素对），所以 $E$ 自然包含在 $E'$ 中。
现在回到平衡正则的性质：范畴里所有满态射都是正则满态射，且单态+满态=同构。那如果刚才的单态射 $E \rightarrow E'$ 同时也是满态射，那它就必然是同构，这就意味着 $E$ 本身就是商态射的kernel pair，也就是有效的等价关系——这就满足了正合范畴的要求。
那关键问题来了：这个单态射 $E \rightarrow E'$ 是不是满态射？
在有限余完备的平衡正规范畴里，答案是肯定的。因为商态射 $X \twoheadrightarrow X/E$ 是正则满态射（平衡正则的性质），而 $E$ 是诱导这个商态射的等价关系，本质上 $E$ 就是所有会被商态射等同的元素对，所以 $E$ 和 $E'$ 是完全一致的，对应的单态射自然是满态射（进而成为同构）。
那回到最初的问题：
- 不是所有平衡正规范畴都是正合范畴——存在一些平衡正则但内部等价关系不全是有效的例子（比如某些非余完备的子范畴）。
- 如果平衡正规范畴额外满足有限余完备（或者至少对所有内部等价关系都有余等化子），那么它就是正合范畴。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Geoffrey Trang
