全空间上的抛物型最大值原理

我了解热方程有这样一个最大值原理：

设 ( T \in (0, \infty] )，函数 ( u ) 满足
$$
\begin{align}
\partial_t u - \Delta u = 0 &\quad \text{在 } \mathbb R^n \times (0, T] \text{ 上} \\
u(\cdot, 0) = g &\quad \text{在 } \mathbb R^n \text{ 上}
\end{align}
$$
其中 ( g ) 是某个给定函数。此外，如果对所有 ( (x, t) \in \mathbb R^n \times (0, T] )，都有
$$|u(x, t)| \le Ce^{a |x|^2}$$
那么就有
$$\sup_{\mathbb R^n \times (0, T]} |u(x, t)| = \sup_{\mathbb R^n} |g(x)|.$$

不过这只是热方程的情况，那对于更一般的抛物型算子，我们有没有类似的结论呢？具体来说：如果函数 ( u ) 满足
$$
\begin{align}
L(u) = 0 &\quad \text{在 } \mathbb R^n \times (0, T] \text{ 上}
\end{align}
$$
（原问题后续条件未完整给出，核心疑问是这类一般抛物型算子是否也存在类似热方程的全空间最大值原理）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Falcon