求解一阶线性非齐次常微分方程$rac{dx}{dt} = c + rac{px}{l_0 + pt}$的方法咨询

嘿，这个问题我熟！你得到的是一个一阶线性非齐次常微分方程，最直接的解法就是用积分因子法，我一步步给你拆解：

首先把方程整理成一阶线性ODE的标准形式：
$$\frac{dx}{dt} - \frac{p}{l_0 + pt}x = c$$
这对应标准形式$\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$，其中$P(t) = -\frac{p}{l_0+pt}$，$Q(t)=c$。

接下来计算积分因子$\mu(t)$，公式是$\mu(t) = e^{\int P(t) dt}$：

• 先计算积分$\int P(t)dt = \int -\frac{p}{l_0+pt}dt$，换元令$u=l_0+pt$，则$du=pdt$，积分变为$-\int \frac{du}{u} = -\ln(l_0+pt) + C$（实际问题中$l_0,p,t$都是正数，绝对值可以去掉）
• 所以积分因子$\mu(t) = e^{-\ln(l_0+pt)} = \frac{1}{l_0+pt}$

然后把原方程两边乘以这个积分因子：
$$\frac{1}{l_0+pt}\frac{dx}{dt} - \frac{p}{(l_0+pt)^2}x = \frac{c}{l_0+pt}$$
你会发现左边刚好是$\frac{d}{dt}\left( \frac{x}{l_0+pt} \right)$（这是乘积求导法则的逆用，不信可以自己展开验证下）

接下来对两边同时积分：
$$\int \frac{d}{dt}\left( \frac{x}{l_0+pt} \right) dt = \int \frac{c}{l_0+pt} dt$$
左边积分后就是$\frac{x}{l_0+pt}$，右边同样用换元法：令$u=l_0+pt$，$du=pdt$，积分结果为$\frac{c}{p}\ln(l_0+pt) + K$（$K$是任意常数）

最后解出$x$：
$$x = (l_0+pt)\left( \frac{c}{p}\ln(l_0+pt) + K \right)$$
也可以展开写成：
$$x = \frac{c}{p}(l_0+pt)\ln(l_0+pt) + K(l_0+pt)$$

如果需要验证的话，你可以把这个解代回原微分方程，看看是否满足等式~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames