简单环域上自同构（双全纯映射）的简单参数化

咱们先把问题里涉及的复平面区域定义明确下来：

• 单位开圆盘：$D = { z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 }$
• 开环域：$A_r = { z \in \mathbb{C} \mid 1 < |z| < r }$，这是一个以原点为中心、外半径为$r$的环形区域

问题 #

有没有办法给开环域$A_r$上的所有自同构（也就是从$A_r$到自身的双全纯/双射共形映射）做一个简单的参数化？如果固定$r$（比如取$r=2$）或者让$r=\infty$（也就是去心复平面$\mathbb{C}\setminus{0}$）能简化讨论的话，也可以针对这些情况来谈。

相关背景：单位圆盘的自同构 #

作为黎曼映射定理的特例，单位开圆盘$D$上的所有自同构可以写成如下形式：
$${ z \mapsto \rho \frac{z - \alpha}{z \bar{\alpha} - 1} \mid \rho \in \mathbb{C}, |\rho|=1, \alpha \in D }$$
说白了就是所有把单位圆盘映射到自身的莫比乌斯变换，参数由模为1的复数$\rho$（负责旋转）和圆盘内的点$\alpha$（负责平移/变换中心）组成。

环域自同构的参数化 #

其实环域的自同构群比单位圆盘要简单很多，咱们分两种情况具体说：

• 有限外半径$r$（比如$r=2$）的情况：$A_r$上的所有双全纯自同构只有两类：

  1. 旋转映射：$z \mapsto \rho z$，其中$\rho$是模为1的复数（也可以写成$\rho = e^{i\theta}$，$\theta \in \mathbb{R}$，对应绕原点的旋转角度）
  2. 反演加旋转映射：$z \mapsto \rho \cdot \frac{r}{z}$，同样$\rho$是模为1的复数，这个映射会把环域的内圆周（$|z|=1$）和外圆周（$|z|=r$）互换，同时加上旋转
     简单来说，整个自同构群可以用**旋转角度$\theta$和一个二元选择（选旋转还是反演加旋转）**来完全参数化，没有更多的自由度了。

• $r=\infty$的情况（去心复平面$\mathbb{C}\setminus{0}$）：这时候环域变成了去掉原点的整个复平面，自同构依然是两类，只是反演的形式稍有变化：

  1. 旋转映射：$z \mapsto \rho z$，$|\rho|=1$
  2. 反演旋转映射：$z \mapsto \rho \cdot \frac{1}{z}$，$|\rho|=1$
     本质和有限半径的情况一致，只是反演不再需要参考外半径$r$，直接以原点为中心做反演。

这个结论的核心原因是环域具有共形刚性：两个环域$A_r$和$A_{r'}$双全纯等价当且仅当$r'=r$或者$r'=1/r$（后者对应把其中一个环域反演到另一个），而自身的自同构只能是保持环域边界结构的旋转，或者互换内外边界的反演加旋转，不存在更复杂的共形映射能满足双射且保角的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ylvain