非交换C*-代数中极大理想空间及乘性线性泛函对应关系相关技术问询

嘿，这个问题问到点子上了，这正是从交换C*-代数拓展到非交换情形时最容易产生困惑的地方，我来给你好好捋一捋：

首先先回顾下你提到的交换C*-代数的情况：
借助Gelfand-Naimark定理，我们知道交换C*-代数和某个紧Hausdorff空间上的连续复值函数代数是同构的。这时候极大理想和乘性线性泛函确实是一一对应的——每个极大理想都恰好是某个乘性线性泛函的核，反过来每个乘性线性泛函的核也必然是一个极大理想，这个对应关系是交换C*-代数理论的核心基石之一。

但到了非交换C*-代数这里，情况就完全不一样了，主要有这么几点：

• 非交换C-代数里的乘性线性泛函非常稀缺，甚至很多根本没有非平凡的乘性线性泛函*
  举个最直观的例子：n阶复矩阵代数$M_n(\mathbb{C})$（n≥2）。假设存在一个非平凡的乘性线性泛函$\varphi$，那么$\varphi$满足$\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)$，且$\varphi(I)=1$（因为$\varphi(I)=\varphi(I·I)=\varphi(I)^{2$，非平凡的话只能取1）。但$M_n(\mathbb{C})$是单代数——它的非零理想只有自身，所以$\varphi$的核要么是${0}$要么是整个代数。如果核是整个代数那$\varphi$就是零泛函，不符合“非平凡”的要求；如果核是${0}$，那$\varphi$是单射，但$M_n(\mathbb{C})$里存在非零幂零元（比如严格上三角矩阵$N$，$N}n=0$），这时候$\varphi(N)=\varphi(N^{n)=\varphi(N)}n=0$，和$\varphi$是单射矛盾。所以$M_n(\mathbb{C})$根本没有非平凡的乘性线性泛函。

• 如果非交换C-代数上存在非平凡的乘性线性泛函，那它的核一定是极大理想*
  假设$\varphi$是非交换C*-代数$A$上的非平凡乘性线性泛函，首先可以证明$\varphi$自动是*-同态（利用C*-代数的范数性质能推导出$\varphi(a^*)=\overline{\varphi(a)}$）。那么它的核$\ker\varphi$是$A$的双侧理想，而且$A/\ker\varphi$同构于$\mathbb{C}$（因为$\varphi$的像包含1，所以像就是整个$\mathbb{C}$）。而$\mathbb{C}$是单代数，不存在非平凡的非零理想，所以$\ker\varphi$必然是极大理想——要是有个理想$J$满足$\ker\varphi\subset J\subset A$，那$A/J$就是$\mathbb{C}$的商代数，要么是$\mathbb{C}$（对应$J=\ker\varphi$）要么是${0}$（对应$J=A$），没有中间情况。

但反过来就不成立了：非交换C-代数的极大理想不一定能对应到任何乘性线性泛函*。还是拿$M_n(\mathbb{C})$来说，它的唯一极大理想是${0}$，但我们刚才已经证明了它没有非平凡的乘性线性泛函，自然也就不存在以${0}$为核的乘性线性泛函。再比如Hilbert空间上的紧算子代数$K(H)$，它也是单代数，极大理想是${0}$，同样没有非平凡的乘性线性泛函。

总结一下：非交换C*-代数里，“乘性线性泛函的核是极大理想”这个方向是成立的，但交换情形下那种双向的一一对应完全不存在，而且很多非交换C*-代数连非平凡的乘性线性泛函都没有。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Arindam