奇素数下一类类似Lambert级数的单位根求和等式的证明问询

大家好，我最近在研究数论相关内容时碰到了一个问题，想请各位帮忙解答：

设$\ell$是奇素数，$\zeta=e^{\frac{2\pi i}{\ell}}$，$v$是正整数。如何证明存在整数$N \equiv -v \pmod{\ell}$，使得以下等式成立：
$$
\frac{\zeta^v}{(1-\zeta){\ell}}+\frac{\zeta^{{2v}}{\left(1-\zeta}2\right)^{{\ell}}+\frac{\zeta}{3v}}{\left(1-\zeta^3\right){\ell}}+\cdots+\frac{\zeta^{{(\ell-1)v}}{\left(1-\zeta}{\ell-1}\right)^{\ell}}=\frac{N}{\ell}
$$

这个等式是我在研究一篇关于曲线$y^2=x{\ell}+A$算术性质的论文时需要用到的（对应论文里的引理3.7），我已经手动验证了$\ell=3,5,7$这些小奇素数的情况，等式都是成立的，但还找不到一般性的证明思路，希望能得到各位的指点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user682141