四阶行列式两种计算方法结果不一致的原因咨询

嗨，我来帮你理清这个问题——你第二种方法的核心问题是错误理解了行列式的拆分规则，导致结果跑偏啦！

先明确我们要计算的原行列式：
$$
\begin{vmatrix}
(1+a) & 1 & 1 & 1 \
1 &(1+b)& 1 & 1 \
1 & 1 &(1+c) & 1 \
1 &1 & 1 &(1+d) \
\end{vmatrix}
$$

第一种方法（正确操作） #

你用的行变换 $R_1 + (R_2+R_3+R_4)$，再做列变换 $C_2 - C_1,C_3 - C_1,C_4-C_1$，这个操作完全合法：行列式的倍加行/列变换不会改变行列式的值，最后得到的结果：
$$det = abcd\left(1+ \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)$$
这个是正确的。

第二种方法（错误根源） #

\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 1+b & 1 & 1 \
1 & 1 & 1+c & 1 \
1 & 1 & 1 & 1+d \
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a & 1 & 1 & 1 \
1 & 1+b & 1 & 1 \
1 & 1 & 1+c & 1 \
1 & 1 & 1 & 1+d \
\end{vmatrix}
$$

而你现在是把所有元素都拆成了「1 + 对角元的a/b/c/d」，这种情况下直接拆成两个行列式是不成立的——正确的拆分应该展开成16个行列式的和（每行有两种选择），但其中大部分行列式因为存在重复行/线性相关的行，值为0，最后剩下的就是第一种方法得到的结果，绝不是你写的「全1行列式 + 对角行列式」。

你写的全1行列式值为0（所有行完全相同，秩为1，四阶行列式必然为0），对角行列式值为abcd，所以你得到了0+abcd=abcd的错误结果，本质是拆分规则用错了。

总结一下：第一种方法的行/列变换是合法的行列式操作，结果正确；第二种方法的拆分完全不符合行列式的运算规则，所以结果错误。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Qwerty