圆柱表面给定两点间最短路径的参数方程求解

问题描述 #

假设我们有一个圆柱，它的方程是：
$$x^2 + y^2 = R^2$$
现在给定两个点：$A = (R, 0, 0)$ 和 $B = (0, R, h)$，我们需要找出连接这两点的最短长度曲线的参数方程。

我的尝试过程 #

解决这类曲面最短路径问题，最直观的思路就是把曲面展开成平面——毕竟平面上两点之间线段最短嘛！

我是这么操作的：把圆柱沿着过点$A$的母线剪开，展开成一个平面。在这个展开平面里，我把点$A$设为原点，让$x'$轴沿着圆柱原来的周长方向（也就是展开前绕轴线的弧长方向），$y'$轴平行于圆柱的轴线（也就是z轴方向）。

这时候展开平面和原圆柱的坐标对应关系是：
$$x' = R\theta \quad , \quad y' = z$$
这里$\theta$是原圆柱坐标系里的极角（x-y平面内从x轴正方向转过的角度），$R\theta$就是对应的弧长，这样长度单位才能统一。

现在看展开平面里的点$A$和$B$：

• 点$A$的展开坐标是$(0, 0)$
• 点$B$在原圆柱里的极角是$\frac{\pi}{2}$（因为从$(R,0)$转到$(0,R)$），z坐标是$h$，所以展开后的坐标是$\left(R \cdot \frac{\pi}{2}, h\right)$

这时候连接$A$和$B$的最短路径就是平面上的直线段，这条直线的斜率是$\frac{h}{R \cdot \frac{\pi}{2}} = \frac{2h}{\pi R}$，所以直线方程是：
$$y' = \frac{2h}{\pi R} x'$$

接下来把展开平面的坐标转换回圆柱的三维坐标就行啦。我们知道圆柱的参数方程用$\theta$表示的话是：
$$x = R\cos\theta, \quad y = R\sin\theta, \quad z = z$$
把$x' = R\theta$和$y' = z$代入直线方程，就能得到：
$$z = \frac{2h}{\pi} \theta$$

这样我们就可以用$\theta$作为参数，写出最短路径的参数方程了，$\theta$的取值范围是从0到$\frac{\pi}{2}$：
$$\begin{cases}
x(\theta) = R\cos\theta \
y(\theta) = R\sin\theta \
z(\theta) = \frac{2h}{\pi} \theta
\end{cases} \quad \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$

如果觉得用$\theta$作为参数不够直观，也可以用一个归一化的参数$t \in [0,1]$来表示，令$\theta = \frac{\pi}{2} t$，代入后得到：
$$\begin{cases}
x(t) = R\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \
y(t) = R\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right) \
z(t) = h t
\end{cases} \quad t \in [0,1]$$

这个参数方程描述的就是圆柱表面连接$A$和$B$的最短路径，也就是圆柱上的测地线。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user948761