求解不定积分∫(sin2x sin3x)/(sin2x+sin3x) dx的技术求助

各位好，我现在在求解这个不定积分的时候卡壳了，想请大家帮忙指点下方向：

$$\int\frac{\sin 2x\sin 3x}{\sin 2x+\sin 3x},\mathrm dx$$

下面是我目前的尝试步骤：

• 首先我想用三角恒等式改写分子，用到了正弦的积化和差公式：
  $$\sin(A)\sin(B) = \frac12\left(\cos(A - B) - \cos(A + B)\right)$$
• 我令$A = 2x$，$B = 3x$，代入公式后得到：
  $$\sin(2x)\sin(3x) = \frac12(\cos(2x - 3x) - \cos(2x + 3x))$$
• 不过这里我不小心打错了一步，正确的推导结果应该是$\sin2x\sin3x = \frac12(\cos x - \cos5x)$，但我误写成了：
  $$\sin^2(x)\sin(3x) = \frac12(\cos(x) - \cos(5x))$$

现在我就卡在这一步了，不知道该怎么处理分母的$\sin2x + \sin3x$，也不清楚如何把分子和分母结合起来简化这个积分，求各位大佬给点思路或者下一步的解法建议！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Meharaj Hossain Arman