使用Frobenius方法求解微分方程的求助

我现在卡在求解这个微分方程的步骤里了，想请教大家：
$$xy''+(x+l)y'+ly=0$$
其中 $l\in \mathbb{R}$

我试着用Frobenius方法来解，步骤如下：

1. 首先判断奇点：$x_0=0$是正则奇点，所以假设解的形式是：
   $$y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$$
2. 求出一阶和二阶导数：
   • 一阶导数：$$y' = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r) x^{n+r-1}$$
   • 二阶导数：$$ y'' = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2}$$
3. 把这些代入原方程，展开后得到：
   $$
   \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r) x^{n+r} + l \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r) x^{n+r-1} + l \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0
   $$
4. 我尝试把同类项合并整理，目前得到：
   $$
   \sum_{n=0}^{\infty} a_n [(n+r)(n+r-1) + l(n+r)] x^{n+r-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n [(n+r)+l] x^{n+r} = 0
   $$

到这一步之后，我不太清楚接下来怎么处理指标方程和递推关系，想请大家帮忙指导后续的求解步骤，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者anon02001