请求构造性证明一个集合论命题

我最近在读Freiwald的An Introduction to Set Theory and Topology，翻到第一章的时候遇到了这么一道练习题：

E8. 假设$A$、$B$、$C$、$D$都是集合，并且满足$A\ne\emptyset$、$B\ne\emptyset$。
请证明：如果
$$(A\times B)\cup (B\times A) = (C\times D)\cup(D\times C)\tag{1},$$
那么要么（$A = C$且$B = D$），要么（$A = D$且$B = C$）。

我打算用反证法来证这个结论，下面分情况逐一分析：

• $\underline{a_0\in A\setminus C \text{ 且 } a_1\in A\setminus D}$：
  那么接下来...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Atom