Thom空间作为映射锥的函子性及态射作用定义的疑问

关于实向量丛 $\xi\colon V \to X$ 的Thom空间，最通用的定义之一是把它定义为映射锥：$\newcommand{\Th}{\operatorname{Th}} \Th(\xi) := C(V \setminus X \hookrightarrow V)$，也就是零截面的补集到全空间的包含映射的映射锥。

我们知道，$\Th$ 可以构成一个函子¹：
$$\newcommand{\VectBunR}{\mathrm{VectBun}{\mathbb{R}}}\newcommand{\Top}{\mathrm{Top}}
\Th\colon \VectBunR \to \Top*
$$
这个函子是从实向量丛（以拓扑空间为底空间）的范畴，映射到带点拓扑空间的范畴（这里我们把锥点取作基点）。

我现在实在搞不懂该怎么具体定义 $\Th$ 在态射上的作用。可能一开始会想当然地觉得，函子性直接来自映射锥的函子性，但实际梳理下来……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben Steffan