域自同态相关习题求解求助

最近在刷Bastida写的《Field Extensions and Galois Theory》这本域论教材的习题，本来以为这道题是常规操作，结果卡了好半天都没搞定，来求各位大佬指点！

设$K$是特征$\text{char}(K) \neq 2$的域，$u:K \rightarrow K$是一个映射，满足：

• 对任意$x,y \in K$，都有$u(x+y) = u(x)+u(y)$；
• $u(1) = 1$；
• 对任意$x \in K^*$（$K*$表示$K$的非零元素集合），都有$u(x)u(1/x) = 1$。

证明$u$是域的自同态（即需证明对任意$x,y \in K$，$u(xy) = u(x)u(y)$成立）。

我自己理了理思路，感觉核心就是要证乘法的保持性。现在已经把问题简化到只需要验证“平方元素”的情况了——也就是如果能证明对任意$a \in K$，都有$u(a^2) = u(a)^2$，应该就能推导出一般的乘法公式？但卡在这一步死活证不出来，有没有人能给点思路或者提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matt D