关于霍尔图定理归纳证明中第一种情况的理解求助

我现在在啃霍尔定理的证明，可越啃越懵，尤其是课堂上归纳证明里的第一种情况，完全转不过弯来，想请大家帮帮忙！

定理：设$G=(V_1\cup V_2,E)$是一个二分图，对于每个$U\subseteq V_1$，定义$N_{G}(U)={v\in V_2\ :\ \exists u\in U\text{ such that}{u,v}\in E}$

那么，$G$存在一个大小为$|V_1|$的匹配当且仅当对所有$U\subseteq V_1$，都有$|N_{G}(U)|\geq|U|$

我对归纳证明里的这段内容彻底卡壳了：

• 第一种情况：存在一个集合$A \subseteq V_1$，$A \neq V_1$，满足$|A| = |N_{G}(A)|$

这里还定义了$B = N_{G}(A)$，后面的$A' = ...$内容没写完，但光是这部分我就已经搞不懂这个情况的逻辑了，有没有大佬能帮我理一理这步的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jane Doe