含指示函数的勒贝格积分的求导问题
这个问题本质上是参数依赖可变区域的勒贝格积分求导的一般情况，我们可以把它拆成几个部分来逐步分析，下面我会一步步给你讲清楚思路和可操作的方法：
第一步：简化积分表达式
首先，我们可以把你的$W(x)$改写得更简洁，方便后续分析：
$$
\begin{align*}
W(x) &= \int_{\Omega}\mathbf{1}\left{ \omega\in R\left(x\right)\right} f\left(x,\omega\right)d\mathbb{P}(\omega)+\int_{\Omega}\mathbf{1}\left{ \omega\not\in R\left(x\right)\right} g\left(x,\omega\right)d\mathbb{P}(\omega) \
&= \int_{\Omega} g(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) + \int_{\Omega} \mathbf{1}{\omega\in R(x)} \left(f(x,\omega)-g(x,\omega)\right) d\mathbb{P}(\omega)
\end{align*}
$$
这样拆分后，$W(x)$就变成了普通参数积分加上一个带可变区域指示函数的积分，我们可以分别处理这两部分的导数。
第二步：处理普通参数积分的导数
第一部分$\int_{\Omega} g(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega)$的求导是我们熟悉的积分号下求导，只要满足以下常规条件就可以直接交换求导和积分：
- 对于几乎所有$\omega\in\Omega$，函数$x\mapsto g(x,\omega)$在$\mathcal{X}$上可导；
- 存在一个$\mathbb{P}$-可积函数$G(\omega)$，使得对所有$x\in\mathcal{X}$，$|g_x(x,\omega)| \leq G(\omega)$（控制收敛条件）。
满足条件时，这部分的导数为：
$$
\frac{d}{dx}\int_{\Omega} g(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) = \int_{\Omega} g_x(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega)
$$
同理，$f(x,\omega)$的导数处理也遵循同样的规则。
第三步：处理带可变区域指示函数的积分
核心难点在第二部分，记$h(x,\omega)=f(x,\omega)-g(x,\omega)$，我们需要求$I(x)=\int_{\Omega} \mathbf{1}{\omega\in R(x)} h(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega)$的导数。
先明确前提条件
首先必须保证可测性：集合${(x,\omega)\in\mathcal{X}\times\Omega \mid \omega\in R(x)}$是乘积可测空间$\mathcal{B}(\mathcal{X})\otimes\mathcal{F}$中的可测集，这样指示函数$\mathbf{1}{\omega\in R(x)}$是乘积可测的，$I(x)$才是良定义的可测函数。
一般求导框架
假设我们满足以下条件：
- 对几乎所有$\omega\in\Omega$，$x\mapsto h(x,\omega)$在$\mathcal{X}$上可导，且存在$\mathbb{P}$-可积函数$H(\omega)$使得$|h_x(x,\omega)| \leq H(\omega)$；
- 指示函数$\mathbf{1}{\omega\in R(x)}$对$x$的导数（在几乎处处的意义下，或者在测度意义下）存在，且这个导数对应的“权重”被某个$\mathbb{P}$-可积函数控制。
此时我们可以交换求导和积分，得到：
$$
I'(x) = \int_{\Omega} \mathbf{1}{\omega\in R(x)} h_x(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) + \int_{\Omega} \left(\frac{d}{dx}\mathbf{1}{\omega\in R(x)}\right) h(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega)
$$
关键的“边界项”解释
上式中的第二项就是区别于固定区域积分的边界项：$\frac{d}{dx}\mathbf{1}{\omega\in R(x)}$只在$R(x)$的“动态边界”上非零——也就是那些$\omega$，当$x$变化时，$\omega$会从$R(x)$内部跳到外部，或者反过来。
举个你熟悉的例子验证：当$\Omega=[0,1]$，$R(x)=[0,x]$时，$\frac{d}{dx}\mathbf{1}{\omega\leq x}$就是狄拉克δ函数$\delta(\omega-x)$，此时边界项为$h(x,x)\int_{\Omega}\delta(\omega-x)d\mathbb{P}(\omega)$，如果$\mathbb{P}$有密度$p(\omega)$，这一项就是$h(x,x)p(x)$，和普通莱布尼茨法则的结果完全一致。
光滑依赖的特殊情况
如果$R(x)$是由光滑函数定义的水平集，比如$R(x)={\omega\in\Omega \mid \phi(x,\omega)<0}$，其中$\phi:\mathcal{X}\times\Omega\to\mathbb{R}$对$x$可导，且在$\phi(x,\omega)=0$处$\phi_x(x,\omega)\neq0$，那么我们可以用隐函数定理把边界项转化为更具体的形式：
$$
\int_{\Omega} \left(\frac{d}{dx}\mathbf{1}{\omega\in R(x)}\right) h(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) = \int_{\phi(x,\omega)=0} h(x,\omega) \cdot \frac{1}{|\phi_x(x,\omega)|} d\mathbb{P}{\phi}(\omega)
$$
这里$\mathbb{P}{\phi}$是$\mathbb{P}$在水平集$\phi(x,\omega)=0$上的限制测度（如果这个测度存在的话）。
第四步：合并结果
把两部分的导数合并起来，就得到$W(x)$的导数：
$$
\begin{align*}
W'(x) &= \int_{\Omega} g_x(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) + \int_{R(x)} h_x(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) + \int_{\partial R(x)} h(x,\omega) \cdot d\mu_x(\omega) \
&= \int_{R(x)} f_x(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) + \int_{\Omega\setminus R(x)} g_x(x,\omega) d\mathbb{P}(\omega) + \int_{\partial R(x)} (f(x,\omega)-g(x,\omega)) \cdot d\mu_x(\omega)
\end{align*}
$$
其中$\mu_x$是对应动态边界上的测度，也就是由$\frac{d}{dx}\mathbf{1}{\omega\in R(x)}$诱导的测度。
重要注意事项
- 控制收敛条件是核心：如果没有可积的控制函数，求导和积分的交换是不成立的，很可能得到错误结果；
- 可测性不能忽略：如果$R(x)$的族不可测，指示函数的积分根本没有定义，更不用说求导了；
- 边界项的存在性：当$R(x)$的边界随$x$变化时，边界项一般不能忽略，只有当$R(x)$不随$x$变化时，边界项才会消失，退化为普通的积分号下求导。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas
