证明二元分段函数$f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处不可微

咱们一步步来推导这个结论哈，先明确要分析的函数：

$$
f(x,y):=\begin{cases} \frac{x^3+y3}{x^2+y2},&(x,y)\neq (0,0)\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}
$$

首先回忆多元函数可微的定义：如果$f$在$(0,0)$处可微，那么一定存在唯一的行矩阵$A=(a,b)$，使得下面的极限成立：

$$
\lim\limits_{\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}}\frac{\left|\frac{x^3+y3}{x^2+y2}-0-A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\right|}{\left\Vert \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}\right\Vert_2}=0
$$

咱们先通过特殊路径找出$A$的可能取值：

• 取序列$\left(\frac{1}{n},0\right)$（$n\to\infty$时趋近于$(0,0)$），代入分式计算：
  分子：$\frac{(1/n)^3 + 0}{(1/n)^2 + 0} - a\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n} - \frac{a}{n} = \frac{1-a}{n}$
  分母：$\left\Vert \begin{pmatrix}1/n\0\end{pmatrix}\right\Vert_2 = \frac{1}{n}$
  整个分式为$\frac{|(1-a)/n|}{1/n} = |1-a|$，要让极限为0，必须$a=1$。
• 再取序列$\left(0,\frac{1}{n}\right)$，同理计算可得：
  分子：$\frac{0 + (1/n)^3}{0 + (1/n)^2} - b\cdot\frac{1}{n} = \frac{1-b}{n}$
  分母：$\left\Vert \begin{pmatrix}0\1/n\end{pmatrix}\right\Vert_2 = \frac{1}{n}$
  整个分式为$|1-b|$，极限为0的话必须$b=1$，所以得到$A=(1,1)$。

接下来验证这个$A$是否满足可微条件——换个路径，取$y=x$（即点$(x,x)$，$x\to0$）：
分子：$\frac{x^3 + x^3}{x2 + x^2} - (1\cdot x + 1\cdot x) = \frac{2x^3}{2x2} - 2x = x - 2x = -x$
分母：$\left\Vert \begin{pmatrix}x\x\end{pmatrix}\right\Vert_2 = \sqrt{x^2 + x^2} = |x|\sqrt{2}$
整个分式为$\frac{|-x|}{|x|\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

这个极限结果是$\frac{1}{\sqrt{2}}\neq0$，和可微的定义矛盾！说明不存在满足条件的线性映射$A$，因此函数$f$在$(0,0)$处不可微。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Philipp