非零实数不等式证明问询：证明满足特定不等式的a < -1

我正在证明Daniel Velleman所著How to Prove It中的如下命题：

假设$a$和$b$是非零实数。证明：若$a < \frac{1}{a} < b < \frac{1}{b}$，则$a < -1$。

按照作者给出的提示，我已经进行到这一步了：

• 首先我们要证明a < 0。
• 假设a > 0，给不等式$a < \frac{1}{a}$两边同时乘以a，就得到$a^2 < 1$，也就是$|a| < 1$。
• 但这和$a < \frac{1}{a}$的假设矛盾，因此可以得出a < 0。
• 接下来给不等式...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Riccardo Iorio