约束条件a+b+c=-1且abc≤-3下分式表达式的最小值求解求助

设实数$a,b,c$满足$a+b+c=-1$且$abc\le -3$，求以下表达式的最小值：
$$\frac{ab+1}{a+b}+\frac{bc+1}{b+c}+\frac{ca+1}{c+a}$$

今天我参加了克罗地亚的MONOM竞赛，碰到这道题卡壳了，没法完全解出来，所以想分享下目前的思路，看看有没有大佬能帮忙接着往下走或者给点提示～

我的推导进展：

• 首先我发现$a,b,c$不可能全是负数。假设它们都是负数，令$a=-x,b=-y,c=-z$（其中$x,y,z>0$），代入已知条件后会得到：
  $x+y+z=1$，且$xyz\ge 3$。
• 但根据AM-GM不等式，$x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}$，把$x+y+z=1$代入的话，就会得到$1\ge 3\sqrt[3]{xyz}$，进一步推导可得$xyz\le \frac{1}{27}$，这和刚才得到的$xyz\ge 3$完全矛盾，所以三个数不可能全为负数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter