关于变系数线性偏微分方程特征线求解方法的技术咨询

嘿，我整理了一段关于变系数线性偏微分方程特征线解法的核心内容，来自Tello del Castillo的《Ecuaciones en Derivadas Parciales》，咱们一起拆解下：

我们现在研究如下形式的方程：
$$\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^Na_i(t,x)\frac{\partial u}{\partial x_i}+b(t,x)u = c(t,x).$$
要解这类方程，我们需要找到形如
$$x(t) = \left(x_1(t),\ldots,x_N(t)\right),$$
的曲线，这类曲线由
$$\xi(t,x) = \text{ constant },$$
隐式定义，并且满足
$$\frac{dx_i}{dt} = a_i(t,x).$$
引入变量替换 $(t,\xi)$ 后，我们可以得到：
$$\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t}+\sum_{i=1}^N\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t}+\sum_{i=1}^Na_i(t,x)\frac{\partial u}{\partial x_i}$$
（注：原文此处推导未完结，以上为已给出的内容部分）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam