有限长度模格的高度函数及其满足等式的推导求助

大家好，我最近在研究有限长度的模格，遇到了一个关于高度函数的问题，想请各位帮忙解惑。

我看到资料里定义有限长度模格的高度函数为：
$$h(x)=\text{lub}{l(C):C={x_0,...,x_n:x_0=O\prec...\prec x_n=x}}$$
其中$\text{lub}$代表上确界，$l(C)$是链$C$的长度（即链中元素个数减1），$O$是格的最小元（下确界）。

资料里提到这个高度函数满足如下等式：
$$h(a\wedge b)+h(a\vee b)=h(a)+h(b)$$
但我实在搞不清楚怎么推导出来这个等式。

我已经知道模格满足模律，而且题目里已经假设最小元$O$存在，我试着用模律推了几个关系：

• 当$O\preccurlyeq a$时，$O\vee(b\wedge a)=(O\vee b)\wedge a=a\wedge b$
• 当$O\preccurlyeq(a\wedge b)$时，$O\vee(a\wedge(a\wedge b))=(O\vee a)\wedge(a\wedge b)=a\wedge b$
• 当$a\preccurlyeq(a\vee b)$时，$a\vee(O\wedge(a\vee b))=(a\vee O)\wedge(a\vee b)=a$

但推到这里就卡住了，不知道接下来该怎么继续推导那个高度函数的等式。有没有大佬能给我讲讲推导思路或者关键步骤呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user9871234