关于矩阵ABA'正定性的证明及所需条件的技术问询

嘿，这个问题问得挺关键的，咱们一步步拆解分析：

一、能不能直接证明$ABA'$是正定矩阵？ #

答案是不能，咱们用定义和反例来说明：

首先回忆正定矩阵的核心定义：对于任意非零的$r$维向量$\boldsymbol{x}$，都有$\boldsymbol{x}'(ABA')\boldsymbol{x} > 0$。把这个式子变形一下：
$$\boldsymbol{x}'(ABA')\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x})'B(\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x})$$

已知$\text{Rank}(A)=r$，所以$\boldsymbol{A}'$是$n\times r$的列满秩矩阵——也就是说，当$\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$时，$\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x}$一定是非零的$n$维向量（如果$\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，那$\boldsymbol{x}$属于$\boldsymbol{A}'$的零空间，而列满秩矩阵的零空间只有零向量，矛盾）。

但题目里只说$B$是$n$阶对称满秩矩阵，没说$B$是正定的。比如取$B=-I_n$（$n$阶单位矩阵的负矩阵），这时候$B$显然对称且满秩，但对于任意非零$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y} = -|\boldsymbol{y}|^2 < 0$，代入上面的式子就会得到$\boldsymbol{x}'(ABA')\boldsymbol{x} < 0$，此时$ABA'$是负定矩阵，完全不是正定的。

所以仅靠题目给出的条件，没法证明$ABA'$是正定的。

二、要让$ABA'$正定，$A$需要满足什么额外条件？ #

结合上面的推导，$\boldsymbol{x}'(ABA')\boldsymbol{x} > 0$对所有非零$\boldsymbol{x}$成立，等价于：所有非零的$\boldsymbol{y}\in \text{Col}(A')$（也就是$A$的行空间），都满足$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y} > 0$。

咱们分两种情况来细化这个条件：

情况1：$B$本身是正定矩阵 #

这时候不需要给$A$加额外条件——题目里的$\text{Rank}(A)=r$就足够了。理由很简单：

• 对任意非零$\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x}\neq \boldsymbol{0}$（列满秩性质）
• 因为$B$正定，所以$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y} > 0$对所有非零$\boldsymbol{y}$成立，自然包括$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}'\boldsymbol{x}$的情况，所以$\boldsymbol{x}'(ABA')\boldsymbol{x} >0$，满足正定定义。

情况2：$B$不是正定矩阵（负定或不定） #

这时候需要$A$满足：$A$的行空间与$B$的负特征值对应的特征子空间的交集仅为零向量。换句话说，不存在非零向量$\boldsymbol{y}$属于$A$的行空间，使得$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y} \leq 0$。

举个直观的例子：
设$n=2$，$B=\begin{bmatrix}1&0\0&-1\end{bmatrix}$（这是不定矩阵，有正、负特征值），$A$是$1\times2$矩阵：

• 如果$A=[1,0]$，它的行空间是$\text{span}([1,0])$，这个空间里的非零向量$\boldsymbol{y}=[k,0]$，$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y}=k^2>0$，此时$ABA'=1$，是正定的；
• 如果$A=[0,1]$，行空间是$\text{span}([0,1])$，非零向量$\boldsymbol{y}=[0,k]$，$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y}=-k^2<0$，此时$ABA'=-1$，是负定的；
• 如果$A=[1,1]$，行空间是$\text{span}([1,1])$，非零向量$\boldsymbol{y}=[k,k]$，$\boldsymbol{y}'B\boldsymbol{y}=k^2 -k^2=0$，此时$ABA'=0$，不是正定的。

这就验证了上面的条件：只有当$A$的行空间完全避开$B$的负特征子空间时，$ABA'$才是正定的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shani