关于能否以a、b、α、β表示r的3D扫描仪几何问题咨询

嗨，别担心，这类工程几何问题在论坛里超级常见，完全符合讨论范畴，不用不好意思！

答案是肯定的，我们可以通过空间几何的三角函数推导来得到r的表达式，具体步骤如下：

• 第一步：分解构件的长度分量
  把已知长度的a和b，分别拆解到平行于r的方向和垂直于r的平面内：

  • 构件a在平行于r的方向的分量为 $a\cos\alpha$，垂直于r的平面内的分量为 $a\sin\alpha$
  • 构件b在平行于r的方向的分量为 $b\cos\beta$，垂直于r的平面内的分量为 $b\sin\beta$

• 第二步：计算垂直分量的合成长度
  由于α和β是在两个相互垂直的平面内（这是3D扫描仪常见的正交结构设计），所以a和b的垂直分量彼此垂直，它们的合成分量长度可以用勾股定理计算：
  $$
  \sqrt{(a\sin\alpha)^2 + (b\sin\beta)^2}
  $$

• 第三步：推导r的最终表达式
  平行于r的方向上的分量差为 $|a\cos\alpha - b\cos\beta|$，结合垂直分量的合成长度，再次使用勾股定理得到r的长度：
  $$
  r = \sqrt{(a\cos\alpha - b\cos\beta)^2 + (a\sin\alpha)^2 + (b\sin\beta)^2}
  $$

• 第四步：化简表达式（可选，更简洁的形式）
  展开并合并同类项后，公式可以简化为：
  $$
  r = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha\cos\beta}
  $$

这个化简后的公式完全满足用a、b、α、β表示r的需求，很适合你用来做3D扫描仪的设计计算！

附几何示意图说明：图中展示了3D扫描仪的部分结构，包含两段已知长度的构件a和b，构件a与某垂直方向的夹角为α，构件b与另一垂直方向的夹角为β，r为需要求解的两段构件端点之间的距离。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者bigboingy