关于利用围道积分计算∫_{-∞}^∞ 1/(x(x²+1))dx主值的技术问询

先给大家一个直观结论：

$$\text{The Principal Value of}\quad \int^\infty_{-\infty}\frac 1{x(x^2+1)}dx=0$$
这个结果成立的核心原因是——被积函数是奇函数，对称区间上奇函数的积分主值直接为0。

接下来咱们用复分析的围道积分方法做严谨验证：

• 先看复平面内的被积函数，它存在三个单极点：
  • 在$z=0$处，留数为1；
  • 在$z=i$处，留数为$-1/2$；
  • 在$z=-i$处，留数为$-1/2$。
• 我们构造这样的围道：取一个正向的上半平面半圆围道，半径$R>0$；同时在原点处做一个负向的小圆弧缩进，半径$\epsilon>0$。根据Gamelin《Complex Analysis》第209页的“分数留数计算”方法，当让$R\to\infty$（半圆围道趋于无穷远，积分贡献趋近于0）、$\epsilon\to0$（缩进圆弧趋于原点）时，积分主值等于$2\pi i$乘以上半平面内所有极点的留数之和，再加上$2\pi i$乘以原点处留数的一半（因为缩进是负向的，相当于只取原点处留数贡献的一半且符号相反）。代入数值计算后，最终结果正好是0，和奇函数的结论完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Drooga