递归定义序列的收敛性、上极限与下极限证明求助

嘿，我来帮你梳理这个问题的思路，一步步完成证明～

首先明确问题：我们有一个递归定义的序列：

( x_0 = 2, \quad x_{n+1} = -x_n + (-1)^{n} \frac{1}{2^{n+1}} )
需要证明它不收敛，但存在唯一的上极限和下极限。

先聊聊你的猜想——完全正确！ #

你手动计算前几项后猜测偶下标子序列收敛到1，奇下标子序列收敛到-1，这个思路非常准。因为序列的聚点就只有这两个，所以上极限就是最大的聚点1，下极限是最小的聚点-1；又因为有两个不同的聚点，原序列肯定没法收敛，整体就是在1和-1之间振荡着趋近的。

一、证明序列不收敛：用柯西序列的思路 #

要证明序列不收敛，最直接的方法之一就是证明它不是柯西序列——柯西序列的定义是：对任意(\epsilon>0)，总能找到一个足够大的(N)，使得当(m,n>N)时，(|x_m - x_n|<\epsilon)。反过来，只要找到一个固定的(\epsilon)，不管(N)多大，都能找到(m,n>N)让(|x_m - x_n|\geq\epsilon)，就能说明它不是柯西序列，自然不收敛。

我们取(\epsilon=1)，然后看偶下标和奇下标的项：
对任意大的(N)，我们取(m=2k)（偶下标，(2k>N)），(n=2k+1)（对应的奇下标），根据递推式：
(x_{2k+1} = -x_{2k} + (-1)^{{2k}\frac{1}{2}{2k+1}} = -x_{2k} + \frac{1}{2^{2k+1}})
那两项的差的绝对值就是：
(|x_{2k} - x_{2k+1}| = |x_{2k} - (-x_{2k} + \frac{1}{2^{2k+1}})| = |2x_{2k} - \frac{1}{2^{2k+1}}|)
当(k)足够大时，(x_{2k})趋近于1，所以(2x_{2k})趋近于2，减去一个极小的正数(\frac{1}{2^{2k+1}})，结果肯定大于1.5，远大于我们取的(\epsilon=1)。这就说明不管(N)多大，总能找到这样的(m,n)使得两项之差不小于1，所以序列不是柯西序列，因此不收敛。

二、严格证明上、下极限分别为1和-1：求通项公式是关键 #

其实我们可以先求出序列的通项公式，这样一切就一目了然了。这个递推式是线性非齐次递推，我们可以用通解+特解的方法来求：

1. 先求齐次递推的解：齐次部分是(x_{n+1}=-x_n)，解为(C(-1)^n)，其中(C)是常数；
2. 找非齐次项的特解：非齐次项是((-1)^n\frac{1}{2{n+1}})，我们假设特解为(A(-1)^n\frac{1}{2n})，代入递推式：
   [
   A(-1)^{{n+1}\frac{1}{2}{n+1}} = -A(-1)^n\frac{1}{2n} + (-1)^n\frac{1}{2{n+1}}
   ]
   两边除以((-1)^{n)，再乘以(2}{n+1})化简，就能解得(A=1)，所以特解是((-1)^n\frac{1}{2n})；
3. 通解就是齐次解加特解：(x_n = C(-1)^n + (-1)^n\frac{1}{2n})；
4. 代入初始条件(x_0=2)：(2 = C + 1)，得(C=1)，所以最终通项公式是：
   [
   x_n = (-1)^n\left(1 + \frac{1}{2^n}\right)
   ]

现在看这个通项就很清楚了：

• 当(n)为偶数时，(x_n = 1 + \frac{1}{2^{n})，随着(n)趋向无穷，(\frac{1}{2}n})趋向0，所以偶下标子序列收敛到1；
• 当(n)为奇数时，(x_n = -\left(1 + \frac{1}{2^{n}\right))，同样随着(n)趋向无穷，(\frac{1}{2}n})趋向0，奇下标子序列收敛到-1；

序列的所有项要么趋近于1，要么趋近于-1，没有其他聚点。所以：

• 上极限（LimSup）就是所有聚点中最大的那个，也就是1；
• 下极限（LimInf）就是所有聚点中最小的那个，也就是-1；
  而且这两个极限都是唯一的，因为不存在其他聚点。

这样就完整完成了所有要求的证明啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Martin