关于Milnor《从微分观点看拓扑》中F¹(y)为有限个圆周与弧之并的疑问

嗨，这个问题的核心其实是你没注意到两个关键前提——连通性限制和紧致性条件，咱们拆解开来理清楚：

• 首先，附录里的1维子流形分类定理，针对的是连通的1维光滑子流形，所以结论是每个连通分支要么同胚于圆周$S^{1$，要么同胚于区间（也就是你说的弧）。但$F}{-1}(y)$作为正则值的原像，它是1维光滑子流形，但不一定是连通的，所以它自然可以是若干个这类连通分支的并集。
• 那为什么是有限个呢？这要结合Milnor在延拓引理章节的上下文：这里讨论的映射$F$一般是从紧致光滑流形到另一个流形的光滑映射（Brouwer度的框架基本都建立在紧致流形上）。根据正则值定理，$F^{{-1}(y)$是紧致流形的闭子集，因此它本身也是紧致的。而紧致的1维光滑子流形，连通分支必须是有限的——假设存在无限个不交的连通分支（每个都是圆或弧），我们给每个分支取一个不交的开邻域，这些邻域就构成了$F}{-1}(y)$的一个开覆盖，但紧致空间要求存在有限子覆盖，这就产生了矛盾，所以连通分支只能是有限个。
• 额外补充：这里的“弧”其实特指闭区间（因为紧致的1维非紧连通子流形是开区间，但紧致的话只能是闭区间，也就是带端点的弧），而圆周本身就是紧致的1维连通子流形，所以$F^{-1}(y)$作为紧致1维子流形，最终就是有限个圆周和闭弧的并集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者G2MWF