关于射影态射是否均为拟紧且拟分离的技术问询

嘿，我完全理解刚接触代数几何时，各种态射的性质很容易让人混淆——尤其是射影态射这种涉及投影空间和闭浸入的概念，难免会有疑问。好在你的问题有明确答案：是的，每一个射影态射都是拟紧且拟分离的。下面我用易懂的方式拆解一下原因：

首先回忆射影态射的定义：一个态射 $f: X \to S$ 被称为射影态射，当且仅当它可以分解为一个闭浸入 $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}_S^n$（其中 $\mathbb{P}_S^n$ 是 $S$ 上的 $n$ 维投影空间），再复合上投影空间到 $S$ 的结构态射 $\pi: \mathbb{P}_S^n \to S$，也就是 $f = \pi \circ i$。我们可以从这个分解出发，分别验证两个性质：

• 拟紧性验证

  1. 投影空间的结构态射 $\pi: \mathbb{P}_S^n \to S$ 是拟紧的：$\mathbb{P}_S^n$ 可以被有限个仿射开集覆盖（比如标准的 $n+1$ 个仿射开集），每个开集在 $\pi$ 下的原像都是 $S$ 上的仿射概形，符合拟紧态射“目标概形的每个仿射开子集的原像可被有限个仿射开子集覆盖”的定义。
  2. 闭浸入 $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}_S^n$ 也是拟紧的：闭浸入的逆像会把 $\mathbb{P}_S^n$ 中的开集映射为 $X$ 中的闭子集，而仿射概形的闭子集本身是拟紧的，因此闭浸入满足拟紧性。
  3. 拟紧态射的复合仍然是拟紧的——既然 $\pi$ 和 $i$ 都是拟紧的，那么它们的复合 $f = \pi \circ i$ 必然也是拟紧的。

• 拟分离性验证

  1. 投影空间的结构态射 $\pi: \mathbb{P}_S^n \to S$ 是分离态射：这是投影空间的基本性质，分离态射的对角线态射是闭浸入，而投影空间满足这个条件。分离态射必然是拟分离的（拟分离性是分离性的弱化，只要求对角线态射拟紧，而闭浸入自然满足拟紧）。
  2. 闭浸入 $i: X \hookrightarrow \mathbb{P}_S^n$ 同样是分离态射，因此也满足拟分离性。
  3. 拟分离态射的复合仍然是拟分离的，所以 $f = \pi \circ i$ 作为两个拟分离态射的复合，自然也是拟分离的。

简单总结：射影态射作为闭浸入和投影空间结构态射的复合，而这两个态射都同时满足拟紧和拟分离性，且这两个性质在态射复合下是保持的，因此射影态射必然同时具备这两个性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者KAK