关于特定复值函数积分非负性的求证问询

大家好，我有一个从物理背景衍生出来的数学问题想请教各位：

设$f(u,v)$是定义在区域$u,v\geq0$上的性质良好的复值函数——比如满足连续且在无穷远处快速衰减这类条件。

问题 #

对于任意满足上述条件的函数$f$，请证明：
$$\int_{[0,\infty)^4} dx_1dx_2dx_3dx_4 : f(x_1+x_2, x_3+x_4)^* f(x_1+x_3, x_2+x_4) \geq0.$$
这里的星号代表复共轭，注意$f^$和$f$中的变量做了扭曲*变换。

动机 #

这个问题源于物理领域的推导：根据物理上的论证，某个特定物理量必然是非负的，而我发现这个物理量可以表示成上面这种积分形式。

补充说明 #

• 可以额外假设$f$是对称函数，也就是$f(u,v)=f(v,u)$，不过我不确定这个假设是否必要，或许不加这个条件也能完成证明？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Laplacian