含三次项与指数增长的级数等式证明求助

嘿各位，我最近卡在一个数学问题上了，想请大家帮忙证明一个涉及两个无穷级数的等式。我的目标是证出下面这个等式成立：

$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{12}{(n^3-n)3n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{n3^n} - 3.
$$

我已经尝试过对级数做各种变形，也试了不少技巧——比如积分幂级数、拆分部分分式，但现在完全卡壳了（感觉最开始选的思路可能走错方向了）。有没有大佬能给我指条路，或者分享下解法呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hendrra