半球体积的积分推导错误排查求助

我最近在试着用积分来推导半径为r的半球体积，结果算出来的数完全不对，实在搞不懂问题出在哪，来求助大家！

我的思路是这样的：
首先我从半球的顶部（相当于90度的位置）积分到底部的平面，得到的是四分之一圆的面积，这个我确认是对的：
$$\int_0^{\pi r/2} r d\theta = \frac{r^2\pi}4$$

接下来我想，既然要算体积，那把这个四分之一圆的面积沿着半球底部的那个平面绕一整圈（360度）积分不就行了？于是我列了第二个积分式：
$$\int_0^{\pi r2} r^2\pi d\phi = \frac{r^2\pi}4 = \frac{r^3\pi2}2$$

可是这个结果完全不对啊！半球的正确体积明明是$$V=\frac{2r^3\pi}3 $$

我肯定是第二个积分哪里搞错了，但就是想不通问题出在哪。按道理说，把这些四分之一圆拼接起来应该能得到体积才对，怎么就跑偏了呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jan F. S