正方形内（含边界）点的角度和f(P)的最值求解及AM-GM不等式应用疑问

设$P$是正方形$ABCD$内部或边界上的一点，求$f(P) = \angle ABP + \angle BCP + \angle CDP + \angle DAP$的最小值和最大值。

首先得给你提个醒：你想用AM-GM不等式来处理这个角度和的思路，其实不太合适哦。AM-GM是用来关联和与乘积的下界，但这里的四个角度并不是独立的变量——它们的取值完全由点$P$在正方形内的位置决定，互相之间有约束关系，所以用AM-GM没法直接锁定实际能达到的最值，反而会让问题偏离正确的分析方向。

接下来我们直接拆解这个问题的最值：

一、先明确各角度的定义（避免踩我一开始的坑） #

把正方形放在坐标系里方便分析：设$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$，$P(x,y)$是正方形内/边界上的点，四个角度的顶点分别是：

• $\angle ABP$：顶点在$B$，是$BA$到$BP$的角；
• $\angle BCP$：顶点在$C$，是$CB$到$CP$的角；
• $\angle CDP$：顶点在$D$，是$CD$到$DP$的角；
• $\angle DAP$：顶点在$A$，是$DA$到$AP$的角。

二、最小值情况 #

当$P$落在正方形的任意一个顶点时，这个角度和取得最小值$135^\circ$：
比如$P=B$时，$\angle ABP=0^\circ$（$BA$与$BP$重合），$\angle BCP=0^\circ$（$CB$与$CP$重合），$\angle CDP=\angle CDB=45^\circ$，$\angle DAP=\angle DAB=90^{\circ$，总和为$0+0+45+90=135}\circ$；
其他顶点的情况同理，最终总和都是$135^\circ$。

三、最大值情况 #

当$P$无限靠近正方形的某个顶点的邻边端点时（比如$P$在$BC$边上无限靠近$B$），角度和会趋近于最大值$225^\circ$：
比如$P$在$BC$边上，坐标为$(1,y)$，$y$趋近于$0^+$时：

• $\angle ABP=90^\circ$（$BP$垂直于$BA$）；
• $\angle BCP=0^\circ$（$P$在$BC$边上）；
• $\angle CDP$趋近于$\angle CDB=45^\circ$；
• $\angle DAP$趋近于$90^\circ$（$AP$垂直于$DA$）；
  总和趋近于$90+0+45+90=225^\circ$。
  如果$P$正好在$BC$边中点$(1,0.5)$，总和为$90+0+\arctan(0.5)+\arctan(2)=90+0+26.56+63.44=180^\circ$，比趋近顶点时的和要小。

补充说明 #

为什么AM-GM在这里不适用？因为AM-GM的前提是变量可以独立取值来达到下界，但这里四个角度的取值是绑定的——比如当你想让乘积$abcd$最大时，对应的角度和不一定能取到，反之亦然，而且实际能达到的最值是由点$P$的位置约束决定的，和乘积的极值没有直接关联。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_learner