关于曲线梯度向量点积与正交相交关系的技术问询

嘿，这个问题问得挺关键的——答案是大部分情况下成立，但得加个重要前提，我给你掰扯清楚：

首先，得回忆一下梯度和曲线切线的核心关系：对于形如 f(x,y) = C（C是常数）的曲线，它在某点的梯度 grad(f) 是垂直于曲线在该点的切线方向的，说白了就是梯度是曲线的法线方向向量。同理，另一条曲线 g(x,y) = D（D是常数）的梯度 grad(g) 就是它的法线方向向量。

那如果 grad(f)·grad(g) = 0，就意味着两条曲线在该点的法线向量是互相垂直的。那切线呢？因为切线本身和法线是垂直的，咱们可以用向量运算推导一下：假设曲线1的切线向量是 T₁，那 T₁·grad(f) = 0；曲线2的切线向量是 T₂，则 T₂·grad(g) = 0。如果 grad(f)·grad(g) = 0，你算一下 T₁·T₂ 会发现结果也是0——这就说明两条曲线的切线向量互相垂直，也就是曲线在该点正交相交。

不过这里有个不能忽略的例外：如果其中一条（或两条）曲线在该点的梯度是零向量，那这个结论就不成立了。因为梯度为零的时候，曲线在该点是奇点（比如尖点、驻点），不存在确定的切线方向，自然也就没法谈“正交相交”这回事儿。

总结一下：只要两条曲线在交点处的梯度都不是零向量，且它们的梯度点积为零，就足够证明它们正交相交。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aniket Sinha