关于含对数正弦与双曲正弦平方的积分计算可行性的问询

嘿，这个积分完全可以计算出闭合形式的结果！我结合三角恒等式和傅里叶级数展开来给你推导一下，刚好你已经掌握了$p=0$或$n=0$的情况，那我们重点看$n\in\mathbb{N}^{+$且$p=\sinh}2(a),a>0$的情形：

步骤1：转化被积函数中的对数项 #

先利用三角恒等式$\sin^2(\pi x)=\frac{1-\cos(2\pi x)}{2}$和双曲恒等式$\sinh^2(a)=\frac{\cosh(2a)-1}{2}$，把对数里的表达式合并：
$$\sin^2(\pi x)+p=\frac{1-\cos(2\pi x)}{2}+\frac{\cosh(2a)-1}{2}=\frac{\cosh(2a)-\cos(2\pi x)}{2}$$
原积分因此可以改写为：
$$\int_{0}^{1}\log\left(\frac{\cosh(2a)-\cos(2\pi x)}{2}\right)\cos(2\pi nx)dx$$
拆分成两个积分的差：
$$\int_{0}^{1}\log\left(\cosh(2a)-\cos(2\pi x)\right)\cos(2\pi nx)dx - \log2\int_{0}^{1}\cos(2\pi nx)dx$$
注意当$n\geq1$时，第二个积分$\int_{0}^{1}\cos(2\pi nx)dx=0$，所以我们只需要计算第一个积分。

步骤2：利用傅里叶级数展开对数项 #

对于$a>0$，$\cosh(2a)>1$，我们可以将$\log(\cosh(2a)-\cos(2\pi x))$展开为傅里叶级数。先通过变形关联到已知的级数：
令$r=e^{-2a}$（显然$|r|<1$），则：
$$\cosh(2a)-\cos(2\pi x)=\frac{e^{2a}}{2}\left(1-2r\cos(2\pi x)+r^2\right)$$
取对数后得到：
$$\log\left(\cosh(2a)-\cos(2\pi x)\right)=2a-\log2+\log\left(1-2r\cos(2\pi x)+r^2\right)$$
而我们知道经典的傅里叶展开式（$|r|<1$）：
$$\log\left(1-2r\cos\theta+r^{2\right)=-2\sum_{k=1}}{\infty}\frac{r^k}{k}\cos(k\theta)$$
代入$\theta=2\pi x$，就有：
$$\log\left(\cosh(2a)-\cos(2\pi x)\right)=2a-\log2-2\sum_{k=1}^{{\infty}\frac{e}{-2ak}}{k}\cos(2\pi kx)$$

步骤3：代入积分并交换求和与积分 #

将上述级数代入第一个积分，由于级数一致收敛，我们可以交换求和与积分的顺序：
$$\int_{0}^{{1}\left[2a-\log2-2\sum_{k=1}}{\infty}\frac{e^{-2ak}}{k}\cos(2\pi kx)\right]\cos(2\pi nx)dx$$

• 前两项的积分：$(2a-\log2)\int_{0}^{1}\cos(2\pi nx)dx=0$（因为$n\geq1$）
• 求和项的积分：$-2\sum_{k=1}^{{\infty}\frac{e}{-2ak}}{k}\int_{0}^{1}\cos(2\pi kx)\cos(2\pi nx)dx$

根据三角函数的正交性，当$k\neq n$时，$\int_{0}^{1}\cos(2\pi kx)\cos(2\pi nx)dx=0$；当$k=n$时，这个积分等于$\frac{1}{2}$。因此求和只剩下$k=n$的项：
$$-2\times\frac{e^{{-2an}}{n}\times\frac{1}{2}=-\frac{e}{-2an}}{n}$$

最终结果 #

结合前面的推导，原积分的结果为：
$$\boxed{\int_{0}^{{1}\log\left(\sin}2(\pi x)+\sinh^2(a)\right)\cos(2\pi nx)dx=-\frac{e^{-2an}}{n}}$$

这个结果也符合你已知的特殊情况：当$a\to0^{+$时，$\sinh}2(a)\to0$，结果趋近于$-\frac{1}{n}$，和$\int_{0}^{1}\log(\sin2(\pi x))\cos(2\pi nx)dx$的已知结果一致，验证了正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maticawa