如何获取正态失效律下风险函数的增长因子（growth factor）并证明其递增特性

安全阿岳

2026-4-17

嘿，我看到你在统计实验里碰到了正态失效律下风险函数的问题，还注意到它是递增的，想搞清楚怎么从数学上证明，以及怎么计算增长因子，对吧？我来帮你理一理～

先明确风险函数的核心定义

首先，咱们得先把风险函数（hazard function）的定义搞扎实：对于代表失效时间的随机变量T，风险函数z(t)的本质是在时间t还没失效的前提下，t时刻瞬间失效的概率密度，公式是：
z(t) = f(t) / S(t)
其中：

对于正态失效律，咱们假设失效时间T服从正态分布N(μ, σ²)，那对应的PDF、CDF和生存函数可以写出来：

把这些代入风险函数的定义，就能得到正态失效律下的风险函数：
z(t) = [ (1/(σ√(2π))) * exp(-(t-μ)²/(2σ²)) ] / [ 1 - Φ((t-μ)/σ) ]

要证明z(t)是递增的，咱们可以通过求导看导数的符号——只要导数始终大于0，函数就是严格递增的。

为了简化计算，咱们做个变量替换：令x = (t-μ)/σ，这样t = μ + σx，把z(t)转化为关于x的函数：
z(x) = φ(x)/(σ*(1 - Φ(x)))
这里φ(x) = (1/√(2π))exp(-x²/2)是标准正态分布的PDF。

因为σ是正数，所以z(x)的单调性和g(x) = φ(x)/(1 - Φ(x))（标准正态的风险函数）完全一致，咱们只需要证明g(x)的导数大于0就行。

用商的求导法则计算g'(x)：
g'(x) = [ φ'(x)*(1 - Φ(x)) + φ(x)² ] / (1 - Φ(x))²

先回忆标准正态PDF的导数：φ'(x) = -x*φ(x)，把它代入分子部分：
分子 = -x*φ(x)*(1 - Φ(x)) + φ(x)² = φ(x)*[ -x*(1 - Φ(x)) + φ(x) ]

现在关键看括号里的部分-x*(1 - Φ(x)) + φ(x)是否恒正：

当x ≤ 0时：-x ≥ 0，1 - Φ(x) ≥ 0.5，φ(x) > 0，所以整个括号里的结果肯定是正的
当x > 0时，咱们可以用标准正态的积分性质验证：φ(x) > x*(1 - Φ(x))（简单说就是标准正态的PDF在x>0时，始终大于x乘以右侧的生存概率，这个结论可以通过积分变换推导出来）

所以分子部分始终为正，分母(1 - Φ(x))²也是正的，因此g'(x) > 0，进而z'(t) > 0——这就证明了正态失效律下的风险函数是严格递增的，和你实验里观察到的趋势完全一致！

增长因子一般用来衡量风险随时间的增长幅度，通常有两种常见的表示方式：

直接定义为两个时间点风险函数的比值z(t+Δt)/z(t)，代入z(t)的表达式后可以拆成两部分的乘积：
z(t+Δt)/z(t) = [f(t+Δt)/f(t)] * [S(t)/S(t+Δt)]

把正态分布的PDF和生存函数代入：

第一部分是PDF的比值：f(t+Δt)/f(t) = exp( - [2(t-μ)Δt + Δt²]/(2σ²) ) = exp( - (t-μ)Δt/σ² - Δt²/(2σ²) )
第二部分是生存函数的比值：S(t)/S(t+Δt) = [1 - Φ((t-μ)/σ)] / [1 - Φ((t+Δt-μ)/σ)]

把这两部分乘起来，就是对应时间间隔Δt的增长因子。如果Δt很小，还可以用泰勒展开做近似，得到更简洁的表达式。

瞬时增长率是风险函数的对数导数，也就是d(ln z(t))/dt = z'(t)/z(t)，它表示单位时间内风险的相对增长幅度。

结合之前的推导，咱们可以算出这个瞬时增长率：
z'(t)/z(t) = [ (t-μ)/σ² ] + [ φ((t-μ)/σ) / (σ*(1 - Φ((t-μ)/σ))) ]
（你可以自己动手对z(t)取对数后求导，验证这个结果哦）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者i_hate_F_sharp