伽罗瓦群子群共轭性问题及伽罗瓦群交换性等价条件证明问询

嘿，我最近在研究伽罗瓦理论里的一个问题，卡到了正向证明的关键环节，想过来请教一下大家：

设$K$是特征为$0$的域，$f \in K[X]$是不可约多项式，$L/K$是$f$的分裂域，$\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L$是$f$的全部根。需要证明的结论是：
伽罗瓦群$Gal(L/K)$是交换群当且仅当对任意$\sigma \in Gal(L/K)$，存在多项式$p_\sigma \in K[X]$，使得对所有$i$都有$\sigma(\alpha_i) = p_\sigma(\alpha_i)$

这个命题的反向证明（即从“对每个$\sigma$都存在满足条件的$p_\sigma$”推出$Gal(L/K)$是交换群）我已经想通了，思路挺直接的。但正向证明（从$Gal(L/K)$是交换群推出存在这样的$p_\sigma$）我卡在了关键一步：当$\sigma(\alpha_i) = \alpha_j$时，我还没理清怎么把这个置换关系和“存在$K$上的多项式$p_\sigma$让所有根都满足$\sigma(\alpha_i)=p_\sigma(\alpha_i)$”这个结论挂钩，有没有大佬能点拨一下这部分的推导逻辑呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sebastian1213