关于点积导数的余向量属性及《矩阵食谱》Eq.69公式的理解疑问

我最近在看《矩阵食谱》第10页的Eq.69时，有点绕不过弯来，想理清楚这里的问题。

这个公式给出了这样的恒等式：
$$ \dfrac{\partial\mathbf{x}^\top \mathbf{a}}{\partial \mathbf{x}} =
\dfrac{\partial\mathbf{a}^\top \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=
\mathbf{a} $$

按照我对符号的理解，如果令 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top \mathbf{a} $，那这个公式就是在说 $ \frac{d}{d \mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \mathbf{a} $。

但我一直以来的认知是，从 $\mathbf{R}^n$ 映射到 $\mathbf{R}$ 的函数 $f$ 的总导数应该是一个余向量。而且根据维基百科的相关内容，梯度∇f和导数df分别被表示为列向量和行向量。这和《矩阵食谱》里的公式看起来有点矛盾，我怀疑是不是自己对符号的定义理解错了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jamie