Sobolev函数的广义莱布尼茨法则参考文献及拓展问题问询

各位好，我有两个关于Sobolev空间中乘积函数的问题想请教大家：

问题一：基础不等式的参考文献 #

对于$p,q\in [1,\infty]$，根据广义Hölder不等式应该能推导出如下不等式：
若$f \in W^{1,p}$且$g\in W^{1,q}$，则
$$
| fg|{W^{1,r}} \leq |f|{W^{1,p}} |g|{L^q} + |f|{L^p} |g|_{W^{1,q}}
$$
其中满足$\frac{1}{r} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$。

不知道有没有人知道这个结论的具体参考文献呢？

问题二：更一般情形的结论验证与参考文献 #

除此之外，我猜想如果放宽假设条件——令$f\in W^{1,p}\cap L^q$且$g\in W^{1,\tilde{p}}\cap L^{\tilde{q}}$，应该存在更具一般性的结果。想请教大家：这个猜想是否成立？也就是说，是否存在合适的$p,q,\tilde{p}, \tilde{q}, r$和$h$的关系，使得$fg \in W^{1,r}\cap L^h$？如果有相关的参考文献也麻烦推荐一下~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ferdi96