关于Z₁₂/H≅Z₄证明中同态判定与第一同构定理应用的疑问

原问题 #

设$G=Z_{12}$，$H={0,4,8}$，证明$G/H \cong Z_4$

书本给出的证明过程 #

我们定义映射$\phi:G \to \Bbb Z_4$为$\phi(a)=a\pmod{4}$：

• 称这是一个同态，理由是$o(\phi(1_{12}))=o(1_4) \mid (12,4)=4$
• 同时$Ker(\phi)=H$，$Im(\phi)= \Bbb Z_4$，因此根据同构定理可得$G/H \cong \Bbb Z_4$

我的疑问 #

• 为什么$o(\phi(1_{12}))=o(1_4) \mid (12,4)=4$能说明$\phi$是同态？同态的定义不是$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$吗？
• 为什么给出核$Ker(\phi)=H$和像$Im(\phi)= \Bbb Z_4$就能得出$G/H \cong \Bbb Z_4$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adamrk