求证：若f(n)=Ο(g(n))且d(n)=Ο(h(n))，则f(n)+d(n)=O(g(n)+h(n))

没问题，我来帮你把这个证明补全，完全基于大O的正式定义，用常数法推导，绝对够严谨：

首先，先明确大O符号的正式定义：

对于函数f(n)和g(n)，如果存在正常数C和n₀，使得对于所有的n ≥ n₀，都有 |f(n)| ≤ C·|g(n)|，那么我们就说f(n) ∈ Ο(g(n))。

接下来，根据已知条件展开：

• 因为f(n) ∈ Ο(g(n))，所以根据定义，存在正常数C₁和n₀₁，当n ≥ n₀₁时，|f(n)| ≤ C₁·|g(n)|；
• 同理，d(n) ∈ Ο(h(n))，所以存在正常数C₂和n₀₂，当n ≥ n₀₂时，|d(n)| ≤ C₂·|h(n)|。

现在我们要证明f(n)+d(n) ∈ Ο(g(n)+h(n))，也就是要找到对应的正常数C和n₀，满足大O的定义。

步骤1：利用三角不等式，对于任意n，有：
|f(n) + d(n)| ≤ |f(n)| + |d(n)|

步骤2：取n₀ = max(n₀₁, n₀₂)，这样当n ≥ n₀时，上面两个关于f(n)和d(n)的不等式同时成立，代入上式可得：
|f(n) + d(n)| ≤ C₁·|g(n)| + C₂·|h(n)|

步骤3：构造常数C = max(C₁, C₂)，因为C₁ ≤ C，C₂ ≤ C，所以：
C₁·|g(n)| ≤ C·|g(n)|，C₂·|h(n)| ≤ C·|h(n)|

把这两个代入步骤2的式子，得到：
|f(n) + d(n)| ≤ C·|g(n)| + C·|h(n)| = C·(|g(n)| + |h(n)|)

到这里我们就找到了符合要求的C和n₀：

• C = max(C₁, C₂)（正常数）
• n₀ = max(n₀₁, n₀₂)（足够大的n的下界）

满足当n ≥ n₀时，|f(n)+d(n)| ≤ C·(|g(n)| + |h(n)|)，完全符合大O的定义，所以f(n)+d(n) ∈ Ο(g(n)+h(n))。

你之前推导的O(g(n))+O(h(n))=O(g(n)+h(n))其实是这个结论的一种简洁表述，但上面的过程把它拆解成了最基础的定义推导，用了常数构造的方法，完全符合要求，没有依赖举例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user6512212