验证序列$A_n=U_{n+1}U_n$是否为马尔可夫链的推理正确性

你的思路存在一些逻辑偏差，我们结合马尔可夫链的核心定义来一步步梳理清楚：

首先明确已知条件：

• 独立序列$U_1,U_2,\dots,U_n,\dots$满足对任意$k$，$P(U_k=1)=P(U_k=-1)=\frac{1}{2}$；
• 定义序列$A_n = U_{n+1}U_n$，我们需要验证${A_n}$是否符合马尔可夫链的定义——对于任意$n\geq1$，给定当前状态$A_n$，未来状态$A_{n+1}$的条件分布与所有过去状态$A_1,A_2,\dots,A_{n-1}$无关。

你的推理问题点 #

你提到“$A_{n-1} = U_{n-1}U_n$依赖$U_{n-1}$，而$U_{n-1}$不在$A_n$中，所以$A_n$依赖未来”，这个表述有两个问题：

1. $A_n = U_nU_{n+1}$是基于$U_n$和$U_{n+1}$的乘积，和$U_{n-1}$无关（因为$U_{n-1}$与$U_n、U_{n+1}$独立），不存在“依赖未来”的说法；
2. 马尔可夫链关注的是未来状态$A_{n+1}$是否依赖过去状态，而非$A_n$与过去的关系，你混淆了验证的核心对象。

正确的验证过程 #

我们通过计算条件概率来验证：
$A_n$的可能状态只有$1$和$-1$（因为两个$\pm1$的乘积只能是$\pm1$）。

1. 计算$P(A_{n+1}=1\mid A_n=1, A_{n-1}=a)$（$a$取$1$或$-1$）：

   • 若$A_n=1$，则$U_n=U_{n+1}$；
   • 若$A_{n-1}=1$，则$U_{n-1}=U_n$，结合上式得$U_{n-1}=U_n=U_{n+1}$；若$A_{n-1}=-1$，则$U_{n-1}=-U_n$，结合上式得$U_{n-1}=-U_n=U_{n+1}$；
   • 无论哪种情况，$A_{n+1}=U_{n+1}U_{n+2}$，而$U_{n+2}$独立于所有之前的$U$变量，因此$P(A_{n+1}=1\mid A_n=1, A_{n-1}=a)=P(U_{n+2}=U_{n+1})=\frac{1}{2}$。

2. 计算$P(A_{n+1}=1\mid A_n=1)$：

   • $A_n=1$意味着$U_n=U_{n+1}$，$A_{n+1}=U_{n+1}U_{n+2}$，$U_{n+2}$独立，因此$P(A_{n+1}=1\mid A_n=1)=P(U_{n+2}=U_{n+1})=\frac{1}{2}$。

同理可验证$A_{n+1}=-1$的条件概率，结果完全一致：给定$A_n$时，$A_{n+1}$的条件分布与$A_{n-1},A_{n-2},\dots$无关。

结论 #

${A_n}$是马尔可夫链，你的原推理不正确，核心问题是混淆了马尔可夫链的验证逻辑，错误判断了依赖关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jupyter51