约束优化问题中寻找满足FONC的点的疑问
嘿，我来帮你理清楚这个问题！咱们先把FONC（一阶必要条件）在不等式约束下的核心逻辑搞明白，也就是KKT条件的一阶部分，再一步步分析为什么只有$(1,1)$满足条件，而你提到的$(0,2)$、$(0.5,1.5)$不行。
首先明确咱们的问题：
最小化 $f(x,y) = xy$，约束条件为 $x + y \ge 2$，$x \le y$
第一步：转化约束为标准KKT分析形式
为了用KKT条件分析，我们把约束统一转化为“≥0”的形式（方便对应非负乘子规则）：
- $x + y \ge 2$ 直接保留为 $h_1(x,y) = x + y - 2 \ge 0$
- $x \le y$ 等价于 $h_2(x,y) = y - x \ge 0$
目标函数的梯度是 $\nabla f = (y, x)$，两个约束的梯度分别是：
- $\nabla h_1 = (1, 1)$
- $\nabla h_2 = (-1, 1)$
KTT核心条件（针对本问题）
满足FONC的点需要同时满足：
- 梯度匹配条件：$\nabla f = \lambda_1 \nabla h_1 + \lambda_2 \nabla h_2$，其中 $\lambda_1 \ge 0$，$\lambda_2 \ge 0$（乘子必须非负）
- 互补松弛条件：$\lambda_1 h_1 = 0$，$\lambda_2 h_2 = 0$（乘子和对应约束至少有一个为0，即只有激活的约束才可能有非零乘子）
- 满足原约束条件
接下来分情况逐一验证：
情况1：两个约束都激活（取等号）
也就是 $x + y = 2$ 且 $x = y$，解方程组直接得到 $x = y = 1$。
代入梯度匹配条件：
左边 $\nabla f = (1, 1)$，右边为 $\lambda_1(1,1) + \lambda_2(-1,1)$
列方程组：
$$
\begin{cases}
1 = \lambda_1 - \lambda_2 \
1 = \lambda_1 + \lambda_2
\end{cases}
$$
解出 $\lambda_1 = 1 \ge 0$，$\lambda_2 = 0 \ge 0$，完全满足乘子非负要求，所以$(1,1)$是满足FONC的点。
情况2：只有$x+y=2$激活（$x≠y$）
此时互补松弛要求 $\lambda_2 = 0$（因为$y - x ≠ 0$，所以$\lambda_2 h_2 = 0$→$\lambda_2=0$），梯度条件简化为：
$$
(y, x) = \lambda_1(1,1)
$$
这意味着$y = \lambda_1$且$x = \lambda_1$，也就是$x=y$，但咱们现在假设的是$x≠y$，直接矛盾！
拿你提到的点举例：
- 对于$(0,2)$，$\nabla f=(2,0)$，要等于$\lambda_1(1,1)$，就得$2=\lambda_1$同时$0=\lambda_1$，不可能成立；
- 对于$(0.5,1.5)$，$\nabla f=(1.5,0.5)$，要等于$\lambda_1(1,1)$，就得$1.5=0.5$，显然矛盾。
所以这条边界上除了$(1,1)$之外的点都不满足FONC。
情况3：只有$x=y$激活（$x+y>2$）
此时互补松弛要求$\lambda_1=0$（因为$x+y-2≠0$），梯度条件简化为：
$$
(y, x) = \lambda_2(-1,1)
$$
因为$x=y$，代入得$x = -\lambda_2$且$x = \lambda_2$，也就是$\lambda_2=0$，进一步推出$x=y=0$，但此时$x+y=0<2$，不满足原约束，所以这种情况没有符合条件的点。
情况4：内点（两个约束都不激活，即$x+y>2$且$x<y$）
内点的FONC要求目标函数梯度为零，也就是$\nabla f=(y,x)=(0,0)$，即$x=y=0$，但这显然不满足$x+y≥2$，所以没有内点满足FONC。
总结
只有$(1,1)$满足所有FONC的条件，你朋友的说法是对的。那些你疑惑的边界点，因为无法找到非负乘子满足梯度匹配要求，所以都不满足FONC。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者lorenzo ruka
