对数场的协变导数

咱们先从问题背景说起：假设$x(t)$是光滑流形上的一条曲线，$x_0$是这个流形上的一个定点。映射$x\mapsto \log_x x_0$在局部定义了沿这条曲线的一个向量场，那我们自然会想到去计算它的协变导数$\nabla_{\dot{x}}\log_x x_0$。

在$\mathbb{R}^n$里，这个导数的结果特别简单，就是$-\dot{x}$。那问题来了——有没有什么几何场景，能让弯曲流形上也满足这个结论呢？

关于这个问题，我们可以从指数映射的微分角度给出一个部分解答，对应的公式如下：
$$
\nabla_{\dot{x}}\lambda=-((\mathrm{d}v\exp)^{-1}\circ(\mathrm{d}x\exp)){x,\lambda}(\dot{x}),
$$
这里$\lambda:=\log{x}x_0$，而$\mathrm{d}_x\exp$表示指数映射在点$x$处的微分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Simon