非同心圆点幂差等式的推导方法问询

我最近在推导这个关于非同心圆的点幂差等式时卡壳了，想请教下大家有没有好的思路：

设$C_1,C_2$是两个圆心不同的圆，圆心分别为$O_1,O_2$，$H$是$O_1O_2$与两圆根轴的交点。对于平面上任意一点$P$，有：
$$Pot(P,C_2)-Pot(P,C_1)=2\overrightarrow{O_2O_1} \cdot \overrightarrow{HP}$$
其中$Pot(P,C_1)$表示点$P$关于圆$C_1$的幂。

我试着把$\overrightarrow{HP}$拆成$\overrightarrow{HO_1}+\overrightarrow{O_1P}$代入推导，但折腾了好一阵还是没法得到等式右边的形式，有没有大佬能给点推导方向或者小提示呀？

编辑补充：
我后来想着用坐标系简化问题，设定了如下坐标：
$$H=(0,0); O_1=(a,0); O_2=(a',0); P=(x,y)$$
不过到这一步还是没理清后续的推导步骤...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J P